Distribusi Binomial

Distribusi Probabilitas

  Kunci aplikasi probabilitas dalam statistik adalah memperkirakan terjadinya peluang/probabilitas yang dihubungkan dengan terjadinya peristiwa tersebut dalam beberapa keadaan.

Jika kita mengetahui keseluruhan probabilitas dari kemungkinan outcome yang terjadi, seluruh probabilitas kejadian tersebut akan membentuk suatu distribusi probabilitas.

  Distribusi binomial adalah salah satu distribusi probbabilitas diskrit yang paling sering digunakan dalam analisis statistic modern. Di bidang teknik, distribusi ini erat kaitannya dengan pengendalian kualitas (quality control).
  Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.
  Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

  Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label "berhasil" bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau ”gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebesar 0,5. (Ronald E. Walpole)

  Distribusi Binomial biasa dirumuskan seperti :

B (x;n,p) = _nc_xp^xq^n-x
Dimana :

x = 0,1,2,3,.....,n
n = banyaknya ulangan
x = banyaknya kerberhasilan dalam peubah acak x

p = Peluang berhasil dalam setiap ulangan
q = Peluang gagal, dimana q = 1 - p dalam setiap ulangan

Contoh :

Dadu dilemparkan 5 kali, diharapkan keluar mata 6 dua kali, maka kejadian ini dapat ditulis b(2,5,1/6)  x=2, n=5, p=1/6

Eksperimen Binomial

  Satu atau serangkaian eksperimen dinamakan eskperimen binomial bila dan hanya bila eksperimen yang bersangkutan terdiri dari percobaan-percobaan Bernoulli atau percobaan-percobaan binomial.

  Jika hanya berminta untuk mengetahui apakah hasil suatu percobaan disebut gagal atau sukses, maka ruang sampel yang merumuskan percobaan diatas harus memuat 2 unsur saja yaitu, unsur B bagi sukses dan unsur G bagi gagal. Singkatnya, probabilita kedua unsur diatas dapat dinyatakan sebagai,

p ({B}) = p, p ({G}) = 1 - p = q

      Dimana : p + q = 1 dan 0 < p <1 

      Eksperimen ini merupakan n kali percobaan Bernoulli, sehingga harus memenuhi kondisi-kondisi berikut:
1.    Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya (dinyatakan sebelum eksperimen dimulai).
2.    Setiap pengulangan eksperimen, biasa disebut percobaan (trial), hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin sukses ataupun gagal.
3.    Probabilitas sukses p, dan demikian juga probabilitas gagal q = 1 – p selalu konstan dalam setiap percobaan.

4.    Setiap percobaan saling bebas secara statistic, yang berarti keluaran suatu percobaan tidak berpengaruh pada keluaran percobaan lainnya.

Syarat Distribusi Binomial

1.    Jumlah trial merupakan bilangan bulat  Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin2 ½ kali.
2.    Setiap eksperiman mempunya idua outcome (hasil). Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan, sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.
3.    Peluang sukses sama setiap eksperimen.

Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah ½, pada lambungan seterusnya juga ½. Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Ciri-ciri Distribusi Binomial

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1.    Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang dikehendakai, dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki)
2.    Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian.
3.    Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.4.    Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.

Penerapan Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu :

1.    Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian pilihan ganda.
2.    Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.
3.    Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.

Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial

Rata – rata μ = n . p
Ragam σ2 = n . p . q
n : ukuran populasi
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan